CasADiの基本と応用: Pythonでの非線形最適化と自動微分

イントロダクション

CasADiは、非線形最適化と自動微分のためのオープンソースソフトウェアツールです。主に動的システムのシミュレーションや最適化に用いられ、制御問題や機械学習の分野で広く利用されています。CasADiの最大の特徴は、シンボリックな表現を用いて数式の微分や最適化を効率的に行える点です。

brian

Pythonで非線形最適化や自動微分に挑戦してみたい方へ！CasADiという便利なツールを使って、その基本から実践までを丁寧に解説したガイドを作りました。初めての方でも理解しやすいように工夫しているので、興味がある方はぜひチェックしてみてくださいね！

CasADiの特徴と利点

自動微分: 数式の自動微分をサポートしており、手動での微分の手間を省きます。これにより、より複雑な数式やシステムの解析が容易になります。
最適化: 非線形最適化問題を簡単に定式化し、高速に解くことができます。これには制約条件付きの最適化問題も含まれます。
シンボリック計算: シンボリックな数式操作をサポートしており、数式の定義や変形が容易です。
PythonとC++のサポート: PythonとC++の両方で利用可能であり、幅広い開発環境で使用できます。

PythonでのCasADiの利用例

Pythonは、CasADiを利用する上で非常に適したプログラミング言語です。以下に、簡単な利用例を示します。

Python

import casadi as ca

# シンボリック変数の定義
x = ca.SX.sym('x')
y = ca.SX.sym('y')

# 数式の定義
f = x**2 + y**2

# 数式の微分
df_dx = ca.gradient(f, x)
df_dy = ca.gradient(f, y)

print(f"f: {f}")
print(f"df/dx: {df_dx}")
print(f"df/dy: {df_dy}")

CasADiのインストール

Python環境のセットアップ

CasADiを利用するためには、まずPythonの環境を整える必要があります。Pythonがインストールされていない場合は、Python公式サイトからインストールしてください。バージョンは3.xを推奨します。

次に、パッケージ管理システムであるpipを用いてCasADiをインストールします。

CasADiのインストール手順

以下のコマンドを実行してCasADiをインストールします。

Bash

pip install casadi

これで、CasADiのインストールは完了です。次に、CasADiが正しくインストールされているかを確認するため、簡単なスクリプトを実行してみましょう。

Python

import casadi as ca

# 簡単な確認用のシンボリック変数の作成
x = ca.SX.sym('x')
y = ca.SX.sym('y')
f = x**2 + y**2

print(f"f: {f}")

上記のスクリプトを実行し、エラーが発生しなければインストールは成功です。これで、CasADiを用いたプログラミングの準備が整いました。

基本的な使い方

シンボリック変数の定義

CasADiでは、シンボリック変数を用いて数式を表現します。まずは、基本的なシンボリック変数の定義方法を見ていきましょう。

Python

import casadi as ca

# シンボリック変数の定義
x = ca.SX.sym('x')
y = ca.SX.sym('y')

print(f"x: {x}")
print(f"y: {y}")

数式の作成

シンボリック変数を用いて、数式を簡単に作成することができます。例えば、二変数関数 f(x, y) = x^2 + y^2 を以下のように定義します。

Python

# 数式の定義
f = x**2 + y**2

print(f"f: {f}")

自動微分の実行

CasADiの強力な機能の一つが自動微分です。数式の微分を簡単に計算できます。上記で定義した関数 f(x, y) の x と y に対する偏微分を計算してみましょう。

Python

# 数式の微分
df_dx = ca.gradient(f, x)
df_dy = ca.gradient(f, y)

print(f"df/dx: {df_dx}")
print(f"df/dy: {df_dy}")

このように、CasADiを用いることで複雑な数式の微分を簡単に求めることができます。

シンボリック変数と数式の評価

数式を定義した後、その値を評価することもできます。例えば、x = 3 と y = 4 のときの f(x, y) の値を計算してみましょう。

Python

# 数式の評価
f_func = ca.Function('f_func', [x, y], [f])
result = f_func(3, 4)

print(f"f(3, 4): {result}")

上記のコードでは、数式 ff を関数として定義し、その関数を用いて具体的な値を評価しています。

最適化問題の解決

最適化問題の定式化

最適化問題は、ある目的関数を最小化または最大化するために、変数の最適な値を見つける問題です。ここでは、簡単な例として、二次関数の最小化問題を定式化します。

例として、目的関数 f(x, y) = x^2 + y^2 を最小化する問題を考えます。

Python

import casadi as ca

# シンボリック変数の定義
x = ca.SX.sym('x')
y = ca.SX.sym('y')

# 目的関数の定義
f = x**2 + y**2

# 最適化問題の定義
opti = ca.Opti()  # Optiクラスのインスタンス作成
x = opti.variable()  # 最適化変数 x
y = opti.variable()  # 最適化変数 y

# 目的関数を設定
opti.minimize(x**2 + y**2)

# 制約条件（例として、x と y が非負とする）
opti.subject_to(x >= 0)
opti.subject_to(y >= 0)

解法の実行と結果の解析

次に、定義した最適化問題を解き、その結果を解析します。

Python

# ソルバーの設定
opti.solver('ipopt')  # IPOPTソルバーを使用

# 最適化問題を解く
sol = opti.solve()

# 最適解の取得
x_opt = sol.value(x)
y_opt = sol.value(y)

print(f"Optimal x: {x_opt}")
print(f"Optimal y: {y_opt}")

上記のコードでは、最適化問題を解くためにIPOPTソルバーを使用し、解を求めています。opti.solve() メソッドは問題を解き、sol.value() メソッドを用いて最適解を取得します。

この例では、目的関数 x^2 + y^2 を最小化するために、x と y が非負の制約条件の下で最適化を行っています。最適解は x = 0 および y = 0 となります。

実際の応用例

制御問題への応用

CasADiは制御問題のモデリングと最適化において非常に強力です。ここでは、モデル予測制御（MPC）を用いたシンプルな制御問題の例を紹介します。

モデル予測制御（MPC）の例

モデル予測制御は、システムの未来の動作を予測し、最適な制御入力を計算する手法です。ここでは、シンプルな1次元運動モデルを用いた例を示します。

Python

import casadi as ca
import numpy as np

# 時間ステップ
T = 0.1
N = 20

# シンボリック変数の定義
x = ca.MX.sym('x')  # 状態変数
u = ca.MX.sym('u')  # 制御変数

# 運動モデルの定義
x_next = x + T*u

# オプティミゼーション変数の定義
opti = ca.Opti()
X = opti.variable(N+1)  # 状態変数の軌跡
U = opti.variable(N)    # 制御変数の軌跡

# 初期条件
x0 = 0
opti.subject_to(X[0] == x0)

# 目標状態
x_target = 1

# 目的関数と制約条件の定義
J = 0
for k in range(N):
    J += (X[k] - x_target)**2  # 目的関数: 状態の偏差の二乗和
    opti.subject_to(X[k+1] == X[k] + T*U[k])  # システムダイナミクス
    opti.subject_to(U[k] <= 1)  # 制御入力の上限
    opti.subject_to(U[k] >= -1) # 制御入力の下限

opti.minimize(J)

# ソルバーの設定と最適化の実行
opti.solver('ipopt')
sol = opti.solve()

# 結果の取得
x_opt = sol.value(X)
u_opt = sol.value(U)

# 結果の表示
print("Optimal state trajectory:", x_opt)
print("Optimal control trajectory:", u_opt)

この例では、1次元の運動モデルを用いて、初期状態 x_0 = 0 から目標状態 x_{target} = 1 までの最適な制御入力 u を計算しています。目的関数は状態の偏差の二乗和であり、制御入力には上限と下限の制約を設定しています。

ロボティクスでの利用

CasADiはロボティクスの分野でも広く利用されています。特に、ロボットの運動計画や動的シミュレーションにおいて、その強力な最適化機能が役立ちます。

ロボットアームの運動計画の例

ロボットアームの動作を計画するために、非線形制約付き最適化問題を定式化します。

Python

# ロボットアームの簡単なモデル（2リンクアーム）
theta1 = ca.MX.sym('theta1')
theta2 = ca.MX.sym('theta2')

# 目標位置
x_target = 1
y_target = 1

# リンクの長さ
l1 = 1
l2 = 1

# 先端位置の計算
x_end = l1*ca.cos(theta1) + l2*ca.cos(theta1 + theta2)
y_end = l1*ca.sin(theta1) + l2*ca.sin(theta1 + theta2)

# 目的関数（先端位置と目標位置の差の二乗和）
J = (x_end - x_target)**2 + (y_end - y_target)**2

# オプティミゼーション変数の定義
opti = ca.Opti()
theta1_opt = opti.variable()
theta2_opt = opti.variable()

opti.minimize(J)

# ソルバーの設定と最適化の実行
opti.solver('ipopt')
sol = opti.solve()

# 結果の取得
theta1_sol = sol.value(theta1_opt)
theta2_sol = sol.value(theta2_opt)

print("Optimal joint angles:")
print("theta1:", theta1_sol)
print("theta2:", theta2_sol)

この例では、2リンクロボットアームの先端位置が目標位置に到達するように、関節角度を最適化しています。目的関数は先端位置と目標位置の差の二乗和です。

機械学習への応用

CasADiは機械学習の分野でも利用可能で、特に最適化アルゴリズムの実装において役立ちます。

パラメータ推定の例

機械学習モデルのパラメータ推定を最適化問題として定式化し、CasADiを用いて解きます。

Python

# データポイント
data_x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
data_y = np.array([2.2, 2.8, 3.6, 4.5, 5.1])

# モデルのパラメータ
a = ca.MX.sym('a')
b = ca.MX.sym('b')

# モデルの定義（線形回帰）
model_y = a*data_x + b

# 目的関数（残差の二乗和）
J = ca.sumsqr(model_y - data_y)

# オプティミゼーション変数の定義
opti = ca.Opti()
a_opt = opti.variable()
b_opt = opti.variable()

opti.minimize(J)

# ソルバーの設定と最適化の実行
opti.solver('ipopt')
sol = opti.solve()

# 結果の取得
a_sol = sol.value(a_opt)
b_sol = sol.value(b_opt)

print("Optimal parameters:")
print("a:", a_sol)
print("b:", b_sol)

この例では、線形回帰モデルのパラメータ a と b を最適化し、与えられたデータポイントに対する残差の二乗和を最小化しています。

まとめ

CasADiの利点と今後の展望

CasADiは、自動微分と最適化の強力なツールとして、さまざまな分野で活用されています。その利点は以下の通りです。

自動微分の効率性: 数式の自動微分をサポートしており、手動での微分の手間を省きます。
柔軟な最適化: 複雑な最適化問題を簡単に定式化し、高速に解くことができます。
広範な応用範囲: 制御問題、ロボティクス、機械学習など、さまざまな分野で利用可能です。
PythonとC++のサポート: 主要なプログラミング言語であるPythonとC++で利用でき、多くの開発者に親しまれています。

CasADiは今後も、科学技術計算や産業分野での利用が拡大することが期待されます。また、コミュニティによる継続的な開発と改善により、新たな機能や最適化アルゴリズムの導入が進むでしょう。

さらなる学習のためのリソース

CasADiの使い方をさらに深く学ぶためには、以下のリソースが役立ちます。

公式ドキュメント
CasADi Documentation は、基本的な使い方から高度な機能まで詳細に解説されています。
GitHubリポジトリ
CasADi GitHub では、ソースコードや最新のアップデート情報を入手できます。
オンラインチュートリアル
YouTubeや他のオンライン学習プラットフォームには、CasADiの具体的な使用例を示すビデオチュートリアルが豊富にあります。
研究論文
CasADiに関連する学術論文を読むことで、最新の研究動向や実践的な応用例について知ることができます。